有限数学例

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

ステップ 3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{y}$ をまとめます。

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

ステップ 3.3.1.4

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

ステップ 3.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

ステップ 3.3.1.5.2

式を書き換えます。

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

ステップ 3.3.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.6.1

$- \frac{e^{y}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.6.2

共通因数を約分します。

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

ステップ 3.3.1.6.3

式を書き換えます。

$5 - e^{y} = 2 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- e^{y} = 2 x - 5$

ステップ 3.5

$- e^{y} = 2 x - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- e^{y} = 2 x - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

$e^{y}$ を $1$ で割ります。

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1.1

$\frac{2 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.3.1.2

$- 1 \cdot (2 x)$ を $- (2 x)$ に書き換えます。

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.3.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 3.5.3.1.4

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$e^{y} = - 2 x + 5$

ステップ 3.6

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

ステップ 3.7

左辺を展開します。

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ステップ 3.7.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

ステップ 3.7.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

ステップ 3.7.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (- 2 x + 5)$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.5.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.5.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.7.1

$- \frac{e^{x}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

ステップ 5.2.3.7.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.7.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

ステップ 5.2.3.7.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

ステップ 5.2.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

ステップ 5.2.3.9

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

ステップ 5.2.4

$- 5 + e^{x} + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

ステップ 5.2.4.2

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

ステップ 5.2.5

対数の法則を利用して指数の外に $x$ を移動します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

ステップ 5.2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

ステップ 5.2.7

$x$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\ln (- 2 x + 5))$ の値を求めます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

ステップ 5.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

ステップ 5.3.3.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

ステップ 5.3.4

項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

$5 + 2 x - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$5$ から $5$ を引きます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 5.3.4.1.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

有限数学 例

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